Rationale Zahlen
Eine Zahl heißt rational, wenn man sie als Bruch a / b schreiben kann. Dabei müssen a und b ganze Zahlen sein und b darf nicht 0 sein.
0,5 = 120,75 = 34
01 / Die Grundidee
Was bedeutet eigentlich „rational“?
Bevor wir etwas beweisen, klären wir das Ziel. In der Mathematik gibt es Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen – und Zahlen, bei denen das unmöglich ist.
Irrationale Zahlen
Eine Zahl heißt irrational, wenn sie sich nicht als solcher Bruch darstellen lässt – egal welche ganzen Zahlen man für Zähler und Nenner auswählt.
√2 = 1,41421356…Kein Bruch trifft sie exakt.
Das ist unser Ziel:
Wir beweisen nicht einfach, dass √2 schwer als Bruch zu finden ist. Wir zeigen: Es kann überhaupt keinen passenden Bruch geben.
Ausprobieren
Fast richtig ist noch nicht genau richtig.
√2 ist die positive Zahl, deren Quadrat 2 ergibt. Probiere Näherungswerte aus: Durch mehr Nachkommastellen landest du immer näher an 2. Aber ist das schon ein Beweis?
Wir rechnen die Zahl mal sich selbst
1,414² = 1,999396
Das liegt sehr nahe bei 2 – ist aber nicht 2.
Abstand zum Zielwert 20,000604
Merke: Noch so gute Näherungen beweisen nicht, dass eine Zahl rational oder irrational ist.
02 / Zwei einfache Werkzeuge
Alles, was wir für den Beweis brauchen.
Du musst dafür keine neue Rechenart lernen. Zwei Dinge aus dem Schulstoff reichen: Brüche kürzen und gerade von ungeraden Zahlen unterscheiden.
Ein vollständig gekürzter Bruch
Bei einem Bruch kann man Zähler und Nenner oft durch dieselbe Zahl teilen. Dadurch ändert sich der Wert nicht.
68: 2 →34
Den Bruch 3/4 kann man nicht weiter kürzen. Er ist vollständig gekürzt.
✓In einem vollständig gekürzten Bruch können Zähler und Nenner nicht beide gerade sein. Sonst ließen sich beide durch 2 teilen.
Warum dürfen wir später von einem gekürzten Bruch ausgehen?
Falls √2 irgendein Bruch wäre, könnten wir diesen Bruch so lange kürzen, bis es nicht mehr geht. Der Zahlenwert bliebe dabei gleich.
Darum dürfen wir im Beweis direkt einen vollständig gekürzten Bruch annehmen.
Gerade Zahlen und ihre Quadrate
Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar (2, 4, 6, …). Ungerade Zahlen sind es nicht (1, 3, 5, …). Quadrat heißt: eine Zahl mit sich selbst multiplizieren.
Dein Quadrat
5 × 5 = 25
ungerade → ungerade5 ist ungerade. Auch 5² = 25 ist ungerade.
Die entscheidende Regel: Wenn das Quadrat einer ganzen Zahl gerade ist, muss auch die Zahl selbst gerade sein.
Warum gilt diese Regel wirklich? (Zusatz-Erklärung)
Eine ungerade ganze Zahl lässt sich immer als 2k + 1 schreiben, zum Beispiel 7 = 2 · 3 + 1. Dabei ist k eine ganze Zahl.
Wenn wir diese ungerade Zahl quadrieren und die Klammer ausmultiplizieren, erhalten wir:
(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 · (2k² + 2k) + 1Das ist eine gerade Zahl plus 1, also ungerade. Darum kann eine ungerade Zahl niemals ein gerades Quadrat haben. Anders gesagt: Ist das Quadrat gerade, war die Zahl gerade.
Die Formel musst du für den restlichen Beweis nicht auswendig können – wichtig ist die Aussage.
03 / Der mathematische Beweis
Sieben kleine Schritte. Eine große Erkenntnis.
Jetzt bauen wir die Argumentation wie eine Kette auf. Lies die Schritte der Reihe nach: Jeder einzelne nutzt nur das, was wir vorher gelernt haben.
Unser Trick heißt „Widerspruchsbeweis“. Wir tun zuerst so, als wäre √2 ein Bruch. Wenn diese Annahme zu etwas Unmöglichem führt, wissen wir: Die Annahme war falsch.
01Wir beginnen mit einer Annahme
Stell dir vor, √2 wäre rational.
Dann müsste es zwei ganze Zahlen a und b geben, sodass √2 genau der Bruch a/b ist. Wir nehmen den Bruch gleich vollständig gekürzt an. Dabei ist b ≠ 0.
√2 =ab
Wichtig: Wenn a/b gekürzt ist, dürfen a und b nicht beide durch 2 teilbar sein.
02Auf beiden Seiten quadrieren
Wir entfernen das Wurzelzeichen.
Wir nehmen beide Seiten zum Quadrat. Denn (√2)² ist einfach 2. Dann multiplizieren wir beide Seiten mit b², damit der Bruch verschwindet.
2 =a²b²⟹2b² = a²
So kommt es dazu: Aus 2 = a²/b² wird durch „mal b²“ die Gleichung 2 · b² = a². Das ist wie bei einer normalen Gleichung: Auf beiden Seiten dasselbe tun.
03Eine wichtige Entdeckung
a muss gerade sein.
Die Zahl 2b² ist gerade, weil sie „2 mal eine ganze Zahl“ ist. Also muss auch a² gerade sein. Und wir wissen: Wenn a² gerade ist, ist auch a gerade.
a² = 2b²⟹a ist gerade
Erinnerung: Eine ungerade Zahl kann kein gerades Quadrat haben. Beispiele: 3² = 9 und 5² = 25 sind beide ungerade.
04Gerade als Formel schreiben
Wir ersetzen a durch „2 mal etwas“.
Jede gerade ganze Zahl lässt sich als 2 · k schreiben, wobei k wieder eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel 8 = 2 · 4 oder 14 = 2 · 7.
a = 2k
Das ist nur eine Umformulierung: Wir nutzen die Information „a ist gerade“ als Formel, um mit ihr weiterrechnen zu können.
05Einsetzen und vereinfachen
Jetzt verrät uns die Gleichung etwas über b.
Wir setzen a = 2k in die Gleichung aus Schritt 2 ein. Dann quadrieren wir 2k. Anschließend teilen wir beide Seiten durch 2.
2b² = (2k)² = 4k²
b² = 2k²
Zwischenschritt: Aus 2b² = 4k² folgt 2b² : 2 = 4k² : 2. Also b² = 2k².
06Die gleiche Regel noch einmal
Auch b muss gerade sein!
In b² = 2k² steht rechts wieder „2 mal eine ganze Zahl“. Deshalb ist b² gerade. Mit derselben Regel aus Schritt 3 folgt: b ist gerade.
b² = 2k²⟹b ist gerade
Bis hierhin: Wir haben bewiesen, dass a gerade ist und dass b gerade ist.
07Der Widerspruch!
Das kann nicht sein.
Am Anfang haben wir festgelegt: a/b ist vollständig gekürzt. Jetzt zeigen die Rechnungen: a und b sind beide gerade. Dann könnte man Zähler und Nenner aber durch 2 teilen!
„vollständig gekürzt“≠„beide durch 2 teilbar“
Das ist ein Widerspruch: Ein vollständig gekürzter Bruch kann nicht gleichzeitig noch durch 2 kürzbar sein. Unsere anfängliche Annahme muss also falsch gewesen sein.
Das ganze Argument in einem Bild
Aus einer Annahme entsteht etwas Unmögliches.
UNSERE ANNAHME√2 = a/bBruch vollständig gekürzt
UNSERE RECHNUNGa und b geradeAlso beide durch 2 teilbar
UNMÖGLICH!WiderspruchDer Bruch wäre doch kürzbar
Damit ist bewiesen: √2 kann nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen geschrieben werden. Also ist √2 irrational. ∎
04 / Das kannst du jetzt selbst
Hast du den Knackpunkt verstanden?
Drei kurze Fragen – ohne Notendruck. Wähle jeweils eine Antwort und prüfe danach deine Lösungen.
Der 3-Minuten-Check
3 Fragen05 / Zum Mitnehmen
Das Wichtigste auf einen Blick.
Wenn du den Beweis später in der Schule erklären sollst, reichen diese Gedanken als roter Faden.
Dein Merkzettel
- 1Angenommen, √2 wäre ein vollständig gekürzter Bruch a/b.
- 2Quadrieren liefert a² = 2b². Also ist a gerade.
- 3Schreibe a = 2k und setze ein. Dann gilt b² = 2k².
- 4Somit ist auch b gerade. a und b könnten also beide durch 2 geteilt werden – Widerspruch!
- 5Die Annahme war falsch. √2 ist irrational.
Typische Fragen
Muss ich wissen, was „irrational“ heißt?
Ja, aber es ist einfach: „Irrational“ heißt hier nur, dass die Zahl nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann.
Wieso reicht „1,414…“ nicht als Beweis?
Weil man aus ein paar Nachkommastellen nicht schließen kann, dass es keinen exakten Bruch gibt. Der Beweis muss alle möglichen Brüche auf einmal ausschließen – und genau das tut unser Widerspruchsbeweis.
Was ist das Wichtigste am Widerspruch?
Der angenommene Bruch sollte nicht mehr kürzbar sein. Unsere Rechnung erzwingt aber, dass Zähler und Nenner beide gerade sind und damit doch noch durch 2 geteilt werden könnten. Beides gleichzeitig geht nicht.
Welche Formel muss ich mir merken?
Diese beiden Gleichungen sind der Kern: a² = 2b² und nach Einsetzen von a = 2k b² = 2k². Aus beiden folgt jeweils, dass die betreffende Zahl gerade ist.